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ANÁLISIS MATEMÁTICO 66 UBA XXI
CÁTEDRA CABANA

Práctica 2 - Límite y continuidad

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2.15. Sea $g: \mathbb{R} \longrightarrow \mathbb{R}$ una función tal que $3 x^{2}-\frac{2}{5} x^{4} \leq g(x) \leq 3 x^{2}$, para todo $x \in \mathbb{R}$. Calcular, si existe, $\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{2}}$.

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Avatar Franco 17 de agosto 00:52
Flor, hola, como estas? Estoy confundido. Cuando en el enunciado nos dice: Calcular si existe el limite cuando x-->0 de g(x)/x^2, no hay que escribir el sandwich de esta manera? a(x) <= g(x)/x^2 <= c(x) y luego despejar g(x) mandando el x^2 multiplicando a las otras dos funciones? Por lo tanto el sandwich de los limites a y c quedaría multiplicado por el x^2??? no se si se entiende, sino subo una foto. 
Avatar Flor Profesor 17 de agosto 09:51
@Franco Hola Franco! Jajaja sisi, este enunciado puede traer confusiones... vamos a pensarlo de nuevo... fijate que a nosotros nos pide que encontremos cuánto vale este límite:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{2}}$

En principio, vos el único dato que tenés es que $g$ verifica esto:

$3x^2 - \frac{2}{5}x^4 \leq g(x) \leq 3x^2$

Viendo esta desigualdad, vos podrías entonces saber a dónde tiende $g(x)$ cuando $x$ tiende a cero (ya la tenemos despejada ;)), porque sabemos que:

$ \lim_{x \to 0} 3x^2 - \frac{2}{5}x^4 = 0$

y

$\lim_{x \to 0} 3x^2 = 0$

Entonces, como estos límites coinciden, no queda otra que:

$\lim_{x \to 0} g(x) = 0$

Ahora, el problema es que a nosotros el ejercicio no nos pide ese límite, nos pregunta por este otro:

$\lim _{x \rightarrow 0} \frac{g(x)}{x^{2}}$

Entonces fijate que, si tomás límite, te quedaría el numerador tendiendo a cero (por lo que obtuvimos recién) y el denominador también! Es una indeterminación de tipo cero / cero, no podemos continuar... 

Por eso, es que recurrimos a otra manera de resolverlo. Partimos de lo que sabemos:

$3x^2 - \frac{2}{5}x^4 \leq g(x) \leq 3x^2$

y dividimos todos los miembros por $x^2$, así nos aparece $\frac{g(x)}{x^{2}}$ ensanguchada entre otras dos funciones! Y ahora si, aplicamos Sandwich, tomamos límite a esas otras dos funciones, y cómo son iguales, nos asegura que la función que nos quedó ensanguchada en el medio (que ahora es $\frac{g(x)}{x^{2}}$) va a tender a lo mismo cuando $x$ tiende a cero

Se ve mejor por qué tuvimos que seguir este camino?
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